지수곡선 중점

두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$가 곡선 $y = 2 ^{x}$ 위에 있으므로 점 ${\mathrm{A}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle 2 ^{\frac{1}{2} \log _{2} \frac{3}{2}} = 2 ^{\log _{2} \sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$, 점 ${\mathrm{B}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle 2 ^{\frac{5}{2} \log _{2} \frac{3}{2}} = 2 ^{\log _{2} \frac{9}{4} \sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{9}{4} \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{9}{8} \sqrt{6}$이다. 선분 ${\mathrm{AB}}$의 중점이 ${\mathrm{M}}$이므로 점 ${\mathrm{M}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{9}{8} \sqrt{6}}{2} = \frac{13}{16} \sqrt{6}$이고 점 ${\mathrm{M}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{\frac{1}{2} \log _{2} \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \log _{2} \frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{2} \log _{2} \frac{3}{2}$이다. 두 점 ${\mathrm{M}}$, ${\mathrm{N}}$의 $x$좌표는 서로 같으므로 점 ${\mathrm{N}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle 2 ^{\frac{3}{2} \log _{2} \frac{3}{2}} = 2 ^{\log _{2} \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{4} \sqrt{6}$이다. 따라서 선분 ${\mathrm{MN}}$의 길이는 $\displaystyle \frac{13}{16} \sqrt{6} - \frac{3}{4} \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{16}$이다.