지수곡선 접선 조건

[출제의도] 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 이용하여 문제를 해결한다. $g ( x ) = a ^{x}$에 대하여 $g' ( x ) = a ^{x} \ln a$이므로 곡선 $y = g ( x )$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{3}{2} , \mathit{a} ^{\frac{3}{2}} \right)$에서 이 곡선에 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y - a ^{\frac{3}{2}} = a ^{\frac{3}{2}} \ln a \left( x - \frac{3}{2} \right)$ 이 식에 $y = 0$을 대입하면 $\displaystyle - a ^{\frac{3}{2}} = a ^{\frac{3}{2}} \ln a \left( x - \frac{3}{2} \right)$ $\displaystyle x - \frac{3}{2} = - \frac{1}{\ln a}$ $\displaystyle x = \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln a}$ 따라서 점 D의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{\left( \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln a} , 0 \right)}$ … ㉠ 조건에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{BD}$이므로 점 $\mathrm{D}$는 두 점 $\mathrm{A} ( 0 , 1 )$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{3}{2} , 1 \right)$에 대하여 선분 $\mathrm{A} B$의 수직이등분선과 $x$축의 교점이다. 그러므로 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3}{4} , 0 \right)$이다. ㉠에서 $\displaystyle \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln a} = \frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{\ln a} = \frac{3}{4}$,$\displaystyle \ln a = \frac{4}{3}$, $\displaystyle a = e ^{\frac{4}{3}}$ 따라서 $\displaystyle g ( x ) = e ^{\frac{4}{3} x}$이므로 $\displaystyle g ( 2 ) = e ^{\frac{8}{3}}$이다. [참고] $\mathrm{A} ( 0 , 1 )$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{3}{2} , 1 \right)$, $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln a} , 0 \right)$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} ^{2} = {\overline{BD}} ^{2}$이므로 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln a} \right) ^{2} + 1 ^{2} = \left( \frac{1}{\ln a} \right) ^{2} + 1 ^{2}$ $\displaystyle \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln a} = \frac{1}{\ln a}$ $\displaystyle \frac{1}{\ln a} = \frac{3}{4}$, $\displaystyle \ln a = \frac{4}{3}$, $\displaystyle a = e ^{\frac{4}{3}}$ 따라서 $\displaystyle g ( x ) = e ^{\frac{4}{3} x}$이므로 $\displaystyle g ( 2 ) = e ^{\frac{8}{3}}$