지수곡선 이동과 거리

[출제의도] 지수함수 그래프의 성질을 활용하여 두 점 사이의 거리를 구하는 문제를 해결한다. 곡선 $y = 2 ^{x}$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 곡선은 $y = 2 ^{- x}$이고 곡선 $y = 2 ^{- x}$은 직선 $y = x + 1$과 점 $( 0 , 1 )$에서 만난다. 곡선 $y = 2 ^{- x}$을 $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$만큼 평행이동한 곡선 $y = f ( x )$는 곡선 $\displaystyle y = 2 ^{- x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4}$과 일치한다. 직선 $y = x + 1$은 $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$만큼 평행이동하여도 직선 $y = x + 1$이 된다. 그러므로 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = x + 1$이 만나는 점$\mathrm{A}$는 $y = 2 ^{- x}$과 직선 $y = x + 1$이 만나는 점인 $( 0 , 1 )$ 이 $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$만큼 평행이동한 점 $\displaystyle \left( \frac{1}{4} , \frac{5}{4} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle k = \sqrt{\left( \frac{1}{4} \right) ^{2} + \left( \frac{5}{4} - 1 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{k ^{2}} = 8$ [다른 풀이] 곡선 $y = 2 ^{x}$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 후, $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$만큼 평행이동한 곡선은 $y = f ( x )$이므로 $\displaystyle f ( x ) = 2 ^{- x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4}$이다. 그러므로 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = x + 1$이 만나는 점의 $x$좌표는 $\displaystyle x + 1 = 2 ^{- x + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4}$ $\displaystyle 2 ^{- x + \frac{1}{4}} = x + \frac{3}{4}$에서 $\displaystyle x = \frac{1}{4}$ 즉, 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1}{4} , \frac{5}{4} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle k = \sqrt{\left( \frac{1}{4} \right) ^{2} + \left( \frac{5}{4} - 1 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{k ^{2}} = 8$