미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수곡선 할선 기울기 극한

문제

곡선 $y = 2 ^{x} - 1$ 위의 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , 2 ^{a} - 1 )$ 과 원점 $\mathrm{O}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{OP}$ 와 $x$ 축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라고 하자. 이때, $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 0} {} \tan \theta$ 의 값은? [3점]

① $\ln 2$ ② $\ln 2 + 1$ ③ $2 \ln 2$ ④ $2 \ln 2 + 1$ ⑤ $\ln 2 + 2$

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①

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해설

$\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 0} {} \tan \theta$ 는 곡선 $f ( x ) = 2 ^{x} - 1$ 위의 원점에서 그은 접선의 기울기이다. $f' ( x ) = 2 ^{x} \ln 2$ 이므로 $a = f' ( 0 ) = 2 ^{0} \ln 2 = \ln 2$

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