지수부등식 항상 성립

$\displaystyle 2 ^{\frac{x}{2}} = t$ ($t > 0$)로 치환하면 $\displaystyle 2 ^{x + 1} = 2 ^{x} \cdot 2 = \left( 2 ^{\frac{x}{2}} \right) ^{2} \cdot 2 = 2 t ^{2}$, $\displaystyle 2 ^{\frac{x + 4}{2}} = 2 ^{\frac{x}{2}} \cdot 2 ^{2} = 4 t$ 이므로 주어진 부등식은 $2 t ^{2} - 4 t + a = 2 ( t - 1 ) ^{2} + a - 2 \geq 0$ $\cdots$㉠ 여기서 $t > 0$일 때 이차부등식 ㉠이 항상 성립하기 위해서는 $a - 2 \geq 0$ 이어야 한다. ∴ $a \geq 2$ 따라서 구하는 실수 $a$의 최소값은 $2$이다.