지수방정식의 두 양의 근과 정수 a의 합

$3 ^{x} = t$라 할 때, 주어진 방정식은 $t ^{2} - 2 ( a + 4 ) t - 3 a ^{2} + 24 a = 0$ ⋯⋯ ㉠ $x$가 양수일 때, $t > 1$이므로 방정식 ㉠의 서로 다른 해는 모두 $1$보다 커야한다. 따라서 방정식 ㉠의 판별식을 $D$라 할 때 $D > 0$이고, $f ( t ) =$$t ^{2} - 2 ( a + 4 ) t - 3 a ^{2} + 24 a$라 할 때 $f ( 1 ) > 0$, 이차함수 $f ( t )$의 축 $x$$= a + 4$$> 1$이어야 한다. ⅰ) $D$$= ( a + 4 ) ^{2} - ( - 3 a ^{2} + 24 a ) > 0$에서 $4 a ^{2} - 16 a + 16 > 0$ $4 ( a - 2 ) ^{2} > 0$ 따라서 $a \ne 2$인 모든 실수 $a$에 대하여 위 부등식이 성립한다. ⅱ) $f ( 1 ) = 1 - 2 ( a + 4 ) - 3 a ^{2} + 24 a$$> 0$에서 $3 a ^{2} - 22 a + 7$$< 0$ $( 3 a - 1 ) ( a - 7 ) < 0$ ∴ $\displaystyle \frac{1}{3} < a < 7$ ⅲ) $a + 4 > 1$에서 $a > - 3$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 $\displaystyle \frac{1}{3} < a < 7$이다. 따라서 정수 $a$는 $1$, $3$, $4$, $5$, $6$이다. 따라서 구하는 합은 $1 + 3 + 4 + 5 + 6$$= 19$