지수방정식 양근 조건

$5 ^{x} = t$로 치환하면 주어진 방정식은 $t ^{2} - 5 t + k = 0$ $\cdots$ ㉠ $x > 0$이면 $t > 1$이므로 주어진 방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 ㉠이 $1$보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. $f ( t ) = t ^{2} - 5 t + k$라 놓으면 $y = f ( t )$의 그래프는 다음과 같아야 한다.

$f ( 1 ) = 1 - 5 + k > 0$ $\cdots$ ㉡ (판별식)$=$$25 - 4 k > 0$ $\cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에서 $\displaystyle 4 < k < \frac{25}{4}$, $k = 5 , 6$ 따라서 구하는 정수 $k$의 개수는 $2$이다.