지수·로그 선분 길이

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 선분의 길이 구하는 문제를 해결한다. $m = 3 ^{x}$에서 $x = \log _{3} m$이므로 ${\mathrm{A}} _{m} \left( \log _{3} m , m \right)$ $m = \log _{2} x$에서 $x = 2 ^{m}$이므로 ${\mathrm{B}} _{m} \left( 2 ^{m} , m \right)$ 그러므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{m} {\mathrm{B}} _{m}}$$= 2 ^{m} - \log _{3} m$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{m} {\mathrm{B}} _{m}}$이 자연수이기 위해서는 $m$과 $2 ^{m}$이 자연수이므로 $\log _{3} m$이 음이 아닌 정수이다. 그러므로 $m$$= 3 ^{k}$(단, $k$는 음이 아닌 정수이다.) $m = 3 ^{0}$일 때, $a _{1}$$= 2 ^{1} - \log _{3} 1$$= 2$ $m = 3 ^{1}$일 때, $a _{2}$$= 2 ^{3} - \log _{3} 3$$= 7$ $m = 3 ^{2}$일 때, $a _{3}$$= 2 ^{9} - \log _{3} 9$$= 510$ 따라서 $a _{3}$$= 510$ [보충 설명] 위의 풀이에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{m} {\mathrm{B}} _{m}}$이 자연수이기 위해서는 $m$$= 3 ^{k}$꼴임을 알 수 있다. 이제 $m$의 값이 $3 ^{n - 1}$에서 $3 ^{n}$으로 증가하면 $2 ^{m} - \log _{3} m$의 값도 증가함을 보이자. 모든 자연수 $n$에 대하여 $\left( 2 ^{3 ^{n}} - n \right) - \left\{ 2 ^{3 ^{n - 1}} - ( n - 1 ) \right\}$$= 2 ^{3 ^{n}} - 2 ^{3 ^{n - 1}} - 1$ $= 2 ^{3 ^{n - 1}} ( 2 ^{3} - 1 ) - 1$$= 7 \times 2 ^{3 ^{n - 1}} - 1$ $3 ^{n - 1} \geq 1$이므로 $2 ^{3 ^{n - 1}}$$\geq 2$이다. 그러므로 $7 \times 2 ^{3 ^{n - 1}} - 1$$> 0$ 따라서 $2 ^{3 ^{n - 1}} - ( n - 1 ) < 2 ^{3 ^{n}} - n$이 성립한다.