대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수·로그 사각형 넓이

문제

그림과 같이 두 곡선 $y = 3 ^{x + 1} - 2 , y = \log _{2} \left( x + 1 \right) - 1$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A} , B$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log _{2} \left( x + 1 \right) - 1$ 과 만나는 점을 $\mathrm{C} ,$ 점 $\mathrm{B}$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = 3 ^{x + 1} - 2$ 와 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 할 때, 사각형 $\mathrm{ADBC}$ 의 넓이는? [3점]

① $3$ ② $\displaystyle \frac{13}{4}$ ③ $\displaystyle \frac{7}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{15}{4}$ ⑤ $4$

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⑤

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해설

$\mathrm{A} \left( 1 , 0 \right)$ 이고, $\log _{2} \left( x + 1 \right) - 1 = 1$ 에서 $x + 1 = 4 ,$ 즉 $x = 3$ 이므로 $\mathrm{C} \left( 3 , 1 \right)$ 또, $\mathrm{B} \left( 0 , - 1 \right)$ 이고 $3 ^{x + 1} - 2 = - 1$ 에서 $x + 1 = 0$ , 즉 $x = - 1$ 이므로 $\mathrm{D} \left( - 1 , - 1 \right)$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 3 , {\overline{DB}} = 1 , {\overline{AB}} = 2$ 이므로 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 3 + 1 \right) \times 2 = 4$

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