지수·로그 교점 보기

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이해하고 활용할 수 있는가 ㄱ. 곡선 $y = t - \log _{2} x$는 곡선 $y = \log _{2} x$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후 $y$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 것이므로 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소한다. 또, 곡선 $y = 2 ^{x - t}$은 곡선 $y = 2 ^{x}$을 $x$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 것이므로 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다. 그러므로 두 곡선 $y = t - \log _{2} x$, $y = 2 ^{x - t}$은 한 점에서 만난다. $t = 1$일 때, 곡선 $y = 1 - \log _{2} x$은 $x = 1$일 때 $y = 1$이므로 점 $\left( 1 , 1 \right)$을 지난다. 또, 곡선 $y = 2 ^{x - 1}$은 $x = 1$일 때 $y = 1$이므로 점 $\left( 1 , 1 \right)$을 지난다. $\therefore$$f \left( 1 \right) = 1$ $t = 2$일 때, 곡선 $y = 2 - \log _{2} x$는 $x = 2$일 때, $y = 1$이므로 점 $\left( 2 , 1 \right)$을 지난다. 또, 곡선 $y = 2 ^{x - 2}$은 $x = 2$일 때, $y = 1$이므로 점 $\left( 2 , 1 \right)$을 지난다. $\therefore$$f \left( 2 \right) = 2$ 이 명제가 참이므로 $A = 100$ ㄴ. 곡선 $y = t - \log _{2} x$는 곡선 $y = \mathit{-} \log _{2} x$를 $y$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 것이다. 이때 $t$의 값이 증가하면 두 곡선 $y = t - \log _{2} x$, $y = 2 ^{x}$의 교점의 $x$좌표는 증가한다. 이 때 곡선 $y = 2 ^{x - t}$은 곡선 $y = 2 ^{x}$을 $x$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 것이므로 $t$의 값이 증가하면 두 곡선 $y = t - \log _{2} x$. $y = 2 ^{x - t}$의 교점의 $x$좌표는 두 곡선 $y = t - \log _{2} x$, $y = 2 ^{x}$의 교점의 $x$좌표보다 커진다. 그러므로 $t$의 값이 증가하면 $f \left( t \right)$의 값도 증가한다. 이 명제가 참이므로 $B = 10$ ㄷ. $g \left( x \right) = t - \log _{2} x$, $h \left( x \right) = 2 ^{x - t}$이라 하면 함수 $y = g \left( x \right)$는 감소함수이고, 함수 $y = h \left( x \right)$는 증가함수이므로 $f \left( t \right) {\geq} t$이기 위해서는 $g \left( t \right) {\geq} h \left( t \right)$이어야 한다. 즉, $t - \log _{2} t {\geq} 2 ^{t - t}$ $t - 1 {\geq} \log _{2} t$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이 때 두 함수 $y = \log _{2} t$, $y = t - 1$의 그래프는 두 점 $\left( 1 , 0 \right)$, $\left( 2 , 1 \right)$에서 만나고 다음 그림과 같다.

위에서 $1 < t < 2$일 때는 함수 $y = \log _{2} t$의 그래프가 직선 $y = t - 1$보다 위쪽에 있으므로 ㉠을 만족시키지 못한다. 즉, $1 < t < 2$일 때는 부등식 $f \left( t \right) {\geq} t$를 만족시키지 못한다. 이 명제가 거짓이므로 $C = 0$ ㄱ, ㄴ, ㄷ에서 $A = 100$, $B = 10$, $C = 0$이므로 $A + B + C$ $= 100 + 10 + 0$$= 110$