지수·로그 구간 최대최소

$a - 1 \leq x \leq a + 1$에서 함수 $f ( x )$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. (ⅰ) $a < 0$인 경우

$a - 1 < a + 1 < 1$이므로 $M = f \left( a - 1 \right) = - 2 ^{a - 1} + 2$ $m = f \left( a + 1 \right) = - 2 ^{a + 1} + 2$ $M - m$$= \left( - 2 ^{a - 1} + 2 \right) - \left( - 2 ^{a + 1} + 2 \right)$$\displaystyle = \frac{3}{2} \times 2 ^{a} = 1$ $\displaystyle a = \log _{2} \frac{2}{3}$ (ⅱ) $0 \leq a \leq 2$인 경우

$a - 1 \leq 1 \leq a + 1$이므로 ① 최댓값이 $f ( a - 1 )$인 경우 $M = f \left( a - 1 \right) = - 2 ^{a - 1} + 2$ $m = f \left( 1 \right) = \log _{2} 1 = 0$ $M - m = \left( - 2 ^{a - 1} + 2 \right) - 0 = 1$ $a = 1$ ② 최댓값이 $f ( a + 1 )$인 경우 $M = f \left( a + 1 \right) = \log _{2} \left( a + 1 \right)$ $m = f \left( 1 \right) = \log _{2} 1 = 0$ $M - m = \log _{2} \left( a + 1 \right) - 0 = 1$ $a = 1$ ①, ②에 의하여 $a = 1$ (ⅲ) $a > 2$인 경우

$1 < a - 1 < a + 1$이므로 $M = f \left( a + 1 \right) = \log _{2} \left( a + 1 \right)$ $m = f \left( a - 1 \right) = \log _{2} \left( a - 1 \right)$ $M - m = \log _{2} \left( a + 1 \right) - \log _{2} \left( a - 1 \right) = 1$ $a = 3$ (ⅰ)$\sim$(ⅲ) 에 의하여 모든 실수 $a$의 값은 $\displaystyle \log _{2} \frac{2}{3}$, $1$, $3$이고 그 합은 $\displaystyle \log _{2} \frac{2}{3} + 1 + 3 = \log _{2} \frac{32}{3}$