지수·로그 곡선과 직선

[출제의도] 비례식의 성질과 로그함수의 성질을 활용하여 좌표 구하는 문제를 해결한다. 직선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하면 두 곡선 $y = 2 ^{x}$과 $y = \log _{2} x$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 점 ${\mathrm{C}} ( a , 0 )$이라 하면 점 ${\mathrm{D}} ( 0 , a )$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AD}}$ 조건에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{BC} = 3 : 1$에서 $\displaystyle \triangle \mathrm{OBC} = \frac{\mathit{1}}{5} \triangle \mathrm{OCD}$$\displaystyle = \frac{1}{10} \mathit{a} ^{2} = 40$이므로 $a = 20$ 점 $\mathrm{A}$는 직선 $y$$= - x + a$ 위의 점이다. 따라서 $p + q$$= a$$= 20$ [다른 풀이] 두 곡선 $y = 2 ^{x}$과 $y = \log _{2} x$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{B}$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 점 $\mathrm{A} \mathit{(} p , q )$이므로 점 $\mathrm{B} \mathit{(} q , p )$이고, 점 $\mathrm{C} \mathit{(} a , 0 )$이다. 조건에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{BC} = 3 : 1$ 점 $\mathrm{B}$는 선분 $\mathrm{AC}$를 $3 : 1$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle q = \frac{3 a + p}{4}$, $\displaystyle p = \frac{q}{4}$에서 $a = 5 p$, $q = 4 p$ 또, 삼각형 $\mathrm{OBC}$의 넓이가 $40$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} a p = \frac{5}{2} p ^{2}$$= 40$ $p ^{2} = 16$에서 $p = 4$이므로 $a = 20$ ($p < 0$인 경우에는 문제의 조건을 만족시킬 수 없다.) 점 $\mathrm{A}$는 직선 $y$$= - x + a$ 위의 점이다. 따라서 $p + q$$= a$$= 20$