지수·로그 곡선 삼각형 넓이

[출제의도] 지수함수와 로그함수 이해하기

점 $\mathrm{A} \left( 4 , 0 \right)$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log _{2} x$와 만나는 점은 $\mathrm{B} \left( 4 , 2 \right)$이다. 점 $\mathrm{B}$를 지나고 기울기가 $- 1$인 직선이 곡선 $y = 2 ^{x + 1} + 1$과 만나는 점을 $\mathrm{C} \left( \mathit{a} , b \right)$라 하자. 점 $\mathrm{C}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동시킨 점 $\mathrm{C}' \left( \mathit{b} , a \right)$는 곡선 $y = \log _{2} ( x - 1 ) - 1$ 위에 있다. 점 $\mathrm{C}'$을 $x$축 방향으로 $- 1$만큼, $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동시킨 점 $\left( b - 1 , a + 1 \right)$은 $\mathrm{B}$이다. $a + 1 = 2$, $b - 1 = 4$이므로 $a = 1$, $b = 5$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$