미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수·로그 곡선 점 이동

문제

자연수 nn에 대하여 점 An\mathrm{A} _{n}이 함수 y=4xy = 4 ^{x}의 그래프 위의 점일 때, 점 An+1\mathrm{A} _{n+1}을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 A1\mathrm{A} _{1}의 좌표는 (a,4a)( a , 4 ^{a} )이다. (나) (1) 점 An\mathrm{A} _{n}을 지나고 xx축에 평행한 직선이 직선 y=2xy = 2 x와 만나는 점을 Pn\mathrm{P} _{n}이라 한다. (2) 점 Pn\mathrm{P} _{n}을 지나고 yy축에 평행한 직선이 곡선 y=log⁡4xy = \log _{4} x와 만나는 점을 Bn\mathrm{B} _{n}이라 한다. (3) 점 Bn\mathrm{B} _{n}을 지나고 xx축에 평행한 직선이 직선 y=2xy = 2 x와 만나는 점을 Qn\mathrm{Q} _{n}이라 한다. (4) 점 Qn\mathrm{Q} _{n}을 지나고 yy축에 평행한 직선이 곡선 y=log⁡4xy = \log _{4} x와 만나는 점을 An+1\mathrm{A} _{n+1}이라 한다.

점 An\mathrm{A} _{n}의 xx좌표를 xnx _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x _{n}의 값은? [4점]

①−34\displaystyle - \frac{3}{4}②−1116\displaystyle - \frac{11}{16}③−58\displaystyle - \frac{5}{8}④−916\displaystyle - \frac{9}{16}⑤−12\displaystyle - \frac{1}{2}

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⑤

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해설

AnA _{n}의 xx좌표를 xnx _{n}이라고 가정하면 An=(xn,4xn)A _{n} = ( x _{n} , 4 ^{x_{n}} )이고 y=2xy = 2 x와의 교점의 좌표는 (12×4xn,4xn)\displaystyle ( \frac{1}{2} \times 4 ^{x_{n}} , 4 ^{x_{n}} ) 이다. 따라서 y=log⁡4xy = \log _{4} x에 x=12×4xn\displaystyle x = \frac{1}{2} \times 4 ^{x_{n}}를 대입하면 BnB _{n}의 yy좌표는 y=log⁡2222xn−1=2xn−12\displaystyle y = \log _{2 ^{2}} {2 ^{2 x _{n} - 1} = \frac{2 x _{n} - 1}{2}}이다. 따라서 y=2xy = 2 x에 다시 대입하면 2xn−12=2xn+1\displaystyle \frac{2 x _{n} - 1}{2} = 2 x _{n+1}이다. ∴xn+1=12xn−14\displaystyle \therefore x _{n+1} = \frac{1}{2} x _{n} - \frac{1}{4}이므로 일반항 xn=(x1+12)(12)n−1−12\displaystyle x _{n} = ( x _{1} + \frac{1}{2} ) ( \frac{1}{2} ) ^{n-1} - \frac{1}{2}이고 n→∞n \rightarrow \infty일 때 (12)n−1→0\displaystyle ( \frac{1}{2} ) ^{n-1} \rightarrow 0이므로 lim⁡n→∞xn=−12\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x _{n}} = - \frac{1}{2}

태그

#점화식#지수함수#로그함수

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