대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수·로그 그래프 선분 곱

문제

오른쪽 그림은 직선 y=xy = x와 두 함수 y=2x,y = 2 ^{x} , y=log⁡3xy = \log _{3} x의 그래프이다. xx좌표가 44인 곡선 y=log⁡3xy = \log _{3} x위의 점 A\mathrm{A}에서 yy축 에 내린 수선이 직선 y=xy = x와 만나는 점을 P\mathrm{P}라 하고, yy좌표가 33인 곡선 y=2xy = 2 ^{x}위의 점 B\mathrm{B}에서 xx축에 내린 수선이 직선 y=xy = x와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 한다. 이때, OP‾⋅OQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} \cdot \overline{OQ}의 값은 ? (단, O\mathrm{O}는 원점) [4점]

①44②55③66④43\displaystyle 4 \sqrt{3}⑤62\displaystyle 6 \sqrt{2}

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①

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해설

주어진 그래프에서 A(4,log⁡34)\mathrm{A} ( 4 , \log _{3} 4 )이므로 P(2log⁡32,2log⁡32)\mathrm{P} ( 2 \log _{3} 2 , 2 \log _{3} 2 )이다. O‾P=(2log⁡32)2+(2log⁡32)2=22log⁡32\displaystyle \overline{\mathrm{O}} P = \sqrt{\left( 2 \log _{3} 2 \right) ^{2} + \left( 2 \log _{3} 2 \right) ^{2}} = 2 \sqrt{2} \log _{3} 2 B(log⁡23,3)\mathrm{B} ( \log _{2} 3 , 3 )이므로 Q(log⁡23,log⁡23)\mathrm{Q} ( \log _{2} 3 , \log _{2} 3 )이다. O‾Q=(log⁡23)2+(log⁡23)2=2log⁡23\displaystyle \overline{\mathrm{O}} Q = \sqrt{\left( \log _{2} 3 \right) ^{2} + \left( \log _{2} 3 \right) ^{2}} = \sqrt{2} \log _{2} 3 ∴O‾P⋅O‾Q=22log⁡32×2log⁡23=4\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{O}} P \cdot \overline{\mathrm{O}} Q = 2 \sqrt{2} \log _{3} 2 \times \sqrt{2} \log _{2} 3 = 4

태그

#로그의 성질#그래프

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