대수지수함수와 로그함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

지수·로그 그래프 넓이

문제

함수 $f ( x ) = 2 ^{x - 2} + 1$ 과 $g ( x ) = \log _{2} ( x - 1 ) + 2$ 의 그래프가 두 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 2 , f ( 2 ) )$ , $\mathrm{B} \mathit{(} 3 , f ( 3 ) )$ 에서 만난다. 두 함수 $f ( x )$ 와 $g ( x )$ 의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{1}$ 이라 하고, 함수 $f ( x )$ 의 그래프와 두 직선 $x = 2$ , $x = 3$ 과 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{2}$ 라 할 때, $S _{1} + 2 S _{2}$ 의 값을 구하시오. [4점]

$y = f ( x )$ $y = g ( x )$

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[출제의도] 로그함수와 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $f ( x ) = 2 ^{x-2} + 1$ 는 $g ( x ) = \log _{2} ( x - 1 ) + 2$ 의 역함수이므로 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이다. 함수 $f ( x )$ 의 그래프와 $x$ 축과 두 직선 $x = 2$ , $x = 3$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{2}$ 라 할 때, $S _{2}$ 는 함수 $g ( x )$ 의 그래프와 직선 $y = 2$ , $y = 3$ , $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. 그러므로 $S _{1} + 2 S _{2}$ 는 네 개의 직선 $x$ 축, $y$ 축, $x = 3 , y = 3$ 으로 둘러싸인 정사각형의 넓이와 네 개의 직선 $x$ 축, $y$ 축, $x = 2$ , $y = 2$ 로 둘러싸인 정사각형의 넓이의 차와 같다. $\therefore S _{1} + 2 S _{2} = 9 - 4 = 5$

$\mathbf{S} _{1}$

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