지수 로그 그래프 보기

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 명제의 참, 거짓 추론하기

$y = h \left( x \right)$ $y = g \left( x \right)$ $y = f \left( x \right)$

ㄱ. $f \left( 1 \right) = h \left( 1 \right) = a$이므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( 1 , a \right)$이다. (참) ㄴ. 점 $\mathrm{A}$는 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프의 교점이므로 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표가 $4$일 때, $\log _{2} 4 = 2 ^{1 - 4} + a - 1$이므로 $\displaystyle a = \frac{23}{8}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$와 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}}$가 평행하고, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{CA}} = a$이므로 사각형 $\mathrm{ACBD}$는 평행사변형이다. 따라서 사각형 $\mathrm{ACBD}$의 넓이는 $\displaystyle 3 \times \frac{23}{8} = \frac{69}{8}$이다. (참) ㄷ. $\displaystyle {\overline{\mathrm{CA}}} : {\overline{\mathrm{AH}}} = 3 : 2$에서 $\displaystyle 2 \mathrm{\overline{CA}} = 3 \overline{AH}$이다. 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = \mathit{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \log _{2} \mathit{k}$이므로 $2 a = 3 \log _{2} k$이다. $\cdots \cdots$㉠ 또한 점 $\mathrm{A}$는 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프의 교점이므로 $\log _{2} k = 2 ^{1 - k} + a - 1$이다. $\cdots \cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 2 ^{1 - k} = 1 - \frac{a}{3}$이다. $a > 0$에서 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표 $k$는 $1$보다 크다. 따라서 $0 < 2 ^{1 - k} < 1$이다. 그러므로 $\displaystyle 0 < 1 - \frac{a}{3} < 1$에서 $0 < a < 3$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.