지수·로그 최대최소

$g \left( x \right) = \log _{2} \left( x + 1 \right) + a \left( 0 \leq x < 3 \right)$, $\displaystyle h \left( x \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x + b} + 2 \left( 3 \leq x {} \leq 5 \right)$라 하자. 함수 $g \left( x \right)$의 밑은 $1$보다 크므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x$의 값이 증가할 때, 함숫값도 증가한다. 함수 $h \left( x \right)$의 밑은 $1$보다 작으므로 함수 $h \left( x \right)$는 $x$의 값이 증가할 때, 함숫값은 감소한다. 따라서 닫힌구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같이 $x = 3$을 기준으로 증가하다가 감소하는 형태를 가진다.

이때 $g \left( 3 \right) > h \left( 3 \right)$이면 닫힌구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값이 존재하지 않으므로 $g \left( 3 \right) \leq h \left( 3 \right)$ 따라서 닫힌구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $h \left( 3 \right)$이다. $\displaystyle h \left( 3 \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{3 + b} + 2 = 3$에서 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{3 + b} = 1$, $3 + b = 0$ $\therefore$ $b = - 3$ 닫힌구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 양 끝값인 $f \left( 0 \right)$ 또는 $f \left( 5 \right)$이다. $f \left( 0 \right) = g \left( 0 \right) = \log _{2} \left( 0 + 1 \right) + a = a$ $f \left( 5 \right)$$= h \left( 5 \right)$$\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \right) ^{5 - 3} + 2$$\displaystyle = \frac{9}{4}$ 주어진 최솟값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이고, $\displaystyle \frac{9}{4} > \frac{1}{2}$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $f \left( 0 \right) = a$이다. 따라서 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle a + b = \frac{1}{2} + \left( - 3 \right) = - \frac{5}{2}$