지수 조건 자연수

[출제의도] 이해능력-지수함수와 로그함수 $5 + 3 ^{x} = k$, $12 + 3 ^{k} = 2 k$에서 $3 ^{x} = k - 5 > 0$, $3 ^{y} = 2 k - 12 > 0$이므로 $k > 5 , k > 6$ $\cdots$ ㉠ $( k - 5 ) ( 2 k - 12 ) = 3 ^{x} \times 3 ^{y} = 3 ^{x + y} \leq 3 ^{\log _{3} 24} = 24$ 에서 부등식 $( k - 5 ) ( 2 k - 12 ) \leq 24$ 를 풀면 $\therefore 2 \leq k \leq 9$ $\cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $6 < k \leq 9$이므로 구하는 모든 자연수 $k$의 값의 합은 $7 + 8 + 9 = 24$ 이다.