대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수 곱셈공식

문제

등식 (3a+3−a)2=2(3a+3−a)+8\left( 3 ^{a} + 3 ^{- a} \right) ^{2} = 2 \left( 3 ^{a} + 3 ^{- a} \right) + 8 을 만족시키는 실수 aa에 대하여 27a+27−a27 ^{a} + 27 ^{- a}의 값을 구하시오. [4점]

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52

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해설

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 문제 해결하기 3a+3−a=t3 ^{a} + 3 ^{- a} = t라 하면 3a+3−a≥23a×3−a=2\displaystyle 3 ^{a} + 3 ^{- a} \geq 2 \sqrt{3 ^{a} \times 3 ^{- a}} = 2이므로 t≥2t \geq 2이다. t2=2t+8t ^{2} = 2 t + 8에서 (t−4)(t+2)=0\left( t - 4 \right) \left( t + 2 \right) = 0이고 t≥2t {\geq} 2이므로 t=4t = 4이다. 27a+27−a27 ^{a} + 27 ^{- a}=(3a+3−a)3−3(3a+3−a)= \left( 3 ^{a} + 3 ^{- a} \right) ^{3} - 3 \left( 3 ^{a} + 3 ^{- a} \right) =t3−3t= t ^{3} - 3 t =64−12=52= 64 - 12 = 52

태그

#지수#곱셈공식#치환

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