지수 등식과 판별식으로 k 구하기

$2 ^{\alpha ^{2}} \times 2 ^{\beta ^{2}} = 2 ^{\alpha ^{2} + \beta ^{2}}$, $64 \times 2 ^{\alpha + \beta} = 2 ^{\alpha + \beta + 6}$이므로 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = \alpha + \beta + 6$ 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = k , \alpha \beta = 3$이므로 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta = k ^{2} - 6$ $k ^{2} - 6 = k + 6$에서 $k ^{2} - k - 12 = 0$ $( k - 4 ) ( k + 3 ) = 0$이므로 $k = 4$ 또는 $k = - 3$ 두 근이 실근이므로 판별식 $D = k ^{2} - 12 \geq 0$이어야 한다. $k = - 3$이면 $D = 9 - 12 < 0$이므로 조건에 맞지 않는다. $k = 4$이면 $D = 16 - 12 > 0$이므로 조건에 맞는다. 따라서 $k = 4$