대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수 부등식과 최대최소

문제

부등식 2x−1+2−x≤52 ^{x - 1} + 2 ^{- x} \leq 5를 만족하는 xx에 대하여 22x−2+2−2x2 ^{2 x - 2} + 2 ^{- 2 x}의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

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25

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해설

[출제의도] 지수부등식 이해하기 (ⅰ) (2x−1+2−x)2≤25\left( 2 ^{x - 1} + 2 ^{- x} \right) ^{2} \leq 25 22x−2+2−2x≤242 ^{2 x - 2} + 2 ^{- 2 x} \leq 24이므로 22x−2+2−2x2 ^{2 x - 2} + 2 ^{- 2 x}의 최댓값은 2424이다. (ⅱ) 22x−2+2−2x≥222x−2⋅2−2x=1\displaystyle 2 ^{2 x - 2} + 2 ^{- 2 x} \geq 2 \sqrt{2 ^{2 x - 2} \cdot 2 ^{- 2 x}} = 1이므로 22x−2+2−2x2 ^{2 x - 2} + 2 ^{- 2 x}의 최솟값은 11이다.

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#지수함수#산술기하평균

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