대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

집합 조건 수열의 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 다음과 같이 정의하자.

집합 An={x∣(x−n)(x−2n+1)≤0}A _{n} = \left\{ x \left| \left( x - n \right) ( x - 2 n + 1 ) \leq 0 \right\} \right.에 대하여 25∈An25 \in A _{n}이면 an=1a _{n} = 1이고, 25∉An25 \notin A _{n}이면 an=−1a _{n} = - 1이다.

∑k=1mak=−20\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} = - 20을 만족시키는 자연수 mm의 값을 구하시오. [4점]

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46

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해설

[출제의도] 수열의 규칙을 발견하여 조건을 만족시키는 자연수를 구한다. 집합 An={x∣(x−n)(x−2n+1)≤0}A _{n} = \left\{ x | ( x - n ) ( x - 2 n + 1 ) \leq 0 \right\}에서 (x−n)(x−2n+1)≤0( x - n ) ( x - 2 n + 1 ) \leq 0 n≤x≤2n−1n \leq x \leq 2 n - 1 ∴ An={x∣n≤x≤2n−1}A _{n} = \left\{ x | n \leq x \leq 2 n - 1 \right\} 25An25 A _{n}인 nn의 값의 범위를 구하면 n≤25≤2n−1n \leq 25 \leq 2 n - 1 n≤25n \leq 25이고 n≥13n \geq 13에서 13≤n≤2513 \leq n \leq 25 ∴ an={−1(1≤n≤12또는n≥26)1(13≤n≤25)\displaystyle a _{n} = {\begin{cases} - 1 & \left( 1 \leq n \leq 12 \text{또는} n \geq 26 \right) \\ 1 & \left( 13 \leq n \leq 25 \right) ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} \end{cases}} ∑k=1mak=−20\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} = - 20에서 m≥26m \geq 26이므로 ∑k=1mak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k}=∑k=112ak+∑k=1325ak+∑k=26mak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{12} a _{k} + \sum\limits _{k = 13} ^{25} a _{k} + \sum\limits _{k = 26} ^{m} a _{k} =(−1)×12+1×13+(−1)×(m−25)= ( - 1 ) \times 12 + 1 \times 13 + ( - 1 ) \times ( m - 25 ) =−m+26=−20= - m + 26 = - 20 ∴ m=46m = 46

태그

#시그마#이차부등식#집합

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