직육면체 무게중심 거리

다음 그림과 같이 선분 $\mathrm{EG}$의 중점을 점 $\mathrm{M}$이라 하면 세 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{M}$은 한 직선 위에 있고, $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} \perp \overline{EG}$가 성립한다. 그러므로 평면 $\mathrm{BEHF}$ 위에 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{M}$이 존재한다.

선분 $\mathrm{BD}$의 중점을 점 $\mathrm{M}'$, 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\mathrm{ABCD}$에 수선을 내려 그 수선의 발을 점 $\mathrm{Q}$라 하고, 삼각형 $\mathrm{BDP}$를 그려 보면 다음과 같다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = 3 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}}' = \overline{DM}' = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} : \overline{PM} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} : \overline{QD} = 1 : 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DQ}} = \frac{2}{3} \times 3 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QP}} = \frac{2}{3} \times 6 = 4$이므로 삼각형 $\mathrm{DPQ}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DP}} = \sqrt{( 2 \sqrt{2} ) ^{2} + 4 ^{2}} = 2 \sqrt{6}$ [다른 풀이] 꼭짓점 $\mathrm{E}$를 원점, 세 직선 $\mathrm{FE}$, $\mathrm{FG}$, $\mathrm{FB}$를 각각 $x$축, $y$축, $z$축의 양의 방향으로 좌표를 잡으면 $\mathrm{E} \left( 3 , 0 , 0 \right)$, $\mathrm{G} \left( 0 , 3 , 0 \right)$, $\mathrm{B} \left( 0 , 0 , 6 \right)$, $\mathrm{D} \left( 3 , 3 , 6 \right)$ 삼각형 $\mathrm{BEG}$의 무게중심 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathrm{P} \left( 1 , 1 , 2 \right)$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DP}}$$\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2} + 4 ^{2}} = 2 \sqrt{6}$