직육면체 겉면 최단거리

[출제의도] 이차방정식을 이용하여 최단거리 문제 해결하기 점 $\mathrm{P}$에서 직육면체의 겉면을 따라 점 $\mathrm{Q}$에 도달하는 최단거리를 구하기 위해 고려해야 할 경로는 아래와 같이 두 가지가 있다. i) 아래 그림과 같은 경로로 이동하는 경우

그림의 전개도는 아래 [그림1]과 같다.

[그림1] [그림1]에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{( a + 4 ) ^{2} + 2 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + 8 a + 20}$이다. ii) 아래 그림과 같은 경로로 이동하는 경우

그림의 전개도는 아래 [그림2]와 같다.

[그림2] [그림2]에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} =$$\displaystyle \sqrt{( a + 2 ) ^{2} + 6 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + 4 a + 40}$ 이다. $a > 5$이므로 i), ii) 에 의해 $\left( a ^{2} + 4 a + 40 \right) - \left( a ^{2} + 8 a + 20 \right) = - 4 a + 20 < 0$ 이 되어 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} + 4 a + 40}$이 최단거리이다. 정리하면 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} + 4 a + 40} = 2 \sqrt{34}$ $a ^{2} + 4 a + 40 = 136$ $a ^{2} + 4 a - 96 = 0$ $( a - 8 ) ( a + 12 ) = 0$ 이므로 $a = 8$이다. 따라서 $30 a = 240$이다.