직육면체 부피와 삼차방정식

점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : a$로 내분하는 점이고 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{DC}$를 $1 : a$로 내분하는 점이므로 두 선분 ${\mathrm{AP}}$, ${\mathrm{DQ}}$의 길이는 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AP}}} = \overline{{\mathrm{DQ}}} = \left( 3 a ^{2} + 10 a + 7 \right) \times \frac{1}{1 + a} = 3 a + 7$ 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{EF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P} \mathit{'}$ 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{HG}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{Q}} \mathit{'}$이라 하자. 삼각기둥 ${\mathrm{PFB}} \mathit{-} {\mathrm{QGC}}$의 부피는 삼각기둥 ${\mathrm{PP}} \mathit{'} {\mathrm{F}} \mathit{-} {\mathrm{QQ}} \mathit{'} {\mathrm{G}}$의 부피와 같으므로 $V _{1} - V _{2}$$= V _{1} - \left( \right.$삼각기둥 ${\mathrm{PP}} \mathit{'} {\mathrm{F}} \mathit{-} {\mathrm{QQ}} \mathit{'} {\mathrm{G}}$의 부피$\left. \right)$ $= \left( \right.$직육면체 ${\mathrm{APQD}} \mathit{-} {\mathrm{EP}} \mathit{'} {\mathrm{Q}} \mathit{'} {\mathrm{H}}$의 부피$\left. \right)$ $= \left( 3 a + 7 \right) \times a \times a = 3 a ^{3} + 7 a ^{2}$ $V _{1} - V _{2} = 4$에서 $3 a ^{3} + 7 a ^{2} - 4 = 0$ 조립제법을 이용하여 인수분해하면

$3 a ^{3} + 7 a ^{2} - 4$$= \left( a + 1 \right) \left( 3 a ^{2} + 4 a - 4 \right)$ $= \left( a + 1 \right) \left( a + 2 \right) \left( 3 a - 2 \right) = 0$ $a > 0$에서 $\displaystyle a = \frac{2}{3}$ 따라서 선분 $\mathrm{AP}$의 길이는 $\displaystyle 3 \times \frac{2}{3} + 7 = 9$