공통수학2직선의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

직선이 항상 지나는 점 구하기 빈칸

문제

다음은 실수 $k$ 의 값에 관계없이 직선 $( k + 1 ) x + ( 2 k - 1 ) y - 5 k + 1 = 0$ 이 항상 지나는 점의 좌표를 구하는 과정이다.

$( k + 1 ) x + ( 2 k - 1 ) y - 5 k + 1 = 0$ 을 $k$ 에 대하여 정리하면 $k ($ (가) $) + ($ (나) $) = 0$ 이 식이 $k$ 의 값에 관계없이 항상 성립하려면 (가) $= 0$ , (나) $= 0$ 두 식을 연립하여 풀면 $x =$ (다), $y =$ (라) 따라서 직선은 $k$ 의 값에 관계없이 점 $($ (다) $,$ (라) $)$ 를 지난다.

위의 (가)에 알맞은 식을 $f ( x , y )$ , (다), (라)에 알맞은 수를 각각 $p$ , $q$ 라 할 때, $f ( 4 , 3 ) + p + q$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$( k + 1 ) x + ( 2 k - 1 ) y - 5 k + 1 = 0$ 에서 $k$ 가 있는 항과 없는 항을 나누면 $k ( x + 2 y - 5 ) + ( x - y + 1 ) = 0$ 이므로 (가)는 $x + 2 y - 5$ , (나)는 $x - y + 1$ 이다. $k$ 의 값에 관계없이 성립하려면 $x + 2 y - 5 = 0$ , $x - y + 1 = 0$ 두 식을 연립하면 $3 y = 6$ 에서 $y = 2$ , $x = 1$ 이므로 $p = 1$ , $q = 2$ (검산) $x = 1$ , $y = 2$ 를 원래 식에 대입하면 $( k + 1 ) + 2 ( 2 k - 1 ) - 5 k + 1 = 0$ 이 항등식으로 성립한다. $f ( 4 , 3 ) = 4 + 6 - 5 = 5$ 이므로 따라서 $f ( 4 , 3 ) + p + q = 5 + 1 + 2 = 8$

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