직선과 x축에 접하는 원

$x _{1} < x _{2} < x _{3}$이라 하면 조건 (가)에 의하여 $x _{1} > 0$, $x _{2} > 0$, $x _{3} > 0$ 또는 $x _{1} < 0$, $x _{2} < 0$, $x _{3} > 0$ 조건 (나)에 의하여 세 점 $\left( x _{1} , f \left( x _{1} \right) \right)$, $\left( x _{2} , f \left( x _{2} \right) \right)$, $\left( x _{3} , f \left( x _{3} \right) \right)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 $y$좌표가 음수이므로 $a < 0$ 원의 중심을 $\mathrm{P} \mathit{\left( p , q \right)}$라 하면 $q < 0$ 점 $\mathrm{P}$와 직선 $4 x - 3 y = 0$ 사이의 거리는 점 $\mathrm{P}$와 $x$축 사이의 거리 $- q$와 같다. $\displaystyle \frac{\left| 4 p - 3 q \right|}{\sqrt{4 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}} = \frac{\left| 4 p - 3 q \right|}{5} = - q$ (ⅰ) $4 p - 3 q = - 5 q$인 경우 $q = - 2 p$이므로 점 $\mathrm{P}$는 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = - 2 x$가 만나는 점이다. (ⅱ) $- \left( 4 p - 3 q \right) = - 5 q$인 경우 $\displaystyle q = \frac{1}{2} p$이므로 점 $\mathrm{P}$는 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$가 만나는 점이다. 조건 (가)와 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $x _{1} < 0$, $x _{2} < 0$, $x _{3} > 0$이고 $b < 0$ 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $y = - 2 x$에 접하고, 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$와 서로 다른 두 점에서 만난다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

실수 $t$에 대하여 $\mathrm{P} \mathit{\left( t , a \left( t - b \right) ^{2} \right)}$이라 하자. ① 점 $\mathrm{P}$가 직선 $y = - 2 x$ 위의 점인 경우 $t$에 대한 이차방정식 $a \left( t - b \right) ^{2} = - 2 t$가 중근 $x _{3}$을 갖는다. $at ^{2} - 2 \left( ab - 1 \right) t + ab ^{2} = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이차방정식 $at ^{2} - 2 \left( ab - 1 \right) t + ab ^{2} = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = \left( ab - 1 \right) ^{2} - a ^{2} b ^{2} = 0$ $a ^{2} b ^{2} - 2 ab + 1 - a ^{2} b ^{2} = 0$ $\displaystyle b = \frac{1}{2 a}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle at ^{2} + t + \frac{1}{4 a} = 0$ $\displaystyle a \left( t + \frac{1}{2 a} \right) ^{2} = 0$ $\displaystyle x _{3} = - \frac{1}{2 a}$ ② 점 $\mathrm{P}$가 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$ 위의 점인 경우 $t$에 대한 이차방정식 $\displaystyle a \left( t - b \right) ^{2} = \frac{1}{2} t$가 서로 다른 두 근 $x _{1}$, $x _{2}$를 갖는다. $2 at ^{2} - \left( 4 ab + 1 \right) t + 2 ab ^{2} = 0$ ㉡에서 $\displaystyle b = \frac{1}{2 a}$이므로 $\displaystyle 2 at ^{2} - 3 t + \frac{1}{2 a} = 0$ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle x _{1} + x _{2} = \frac{3}{2 a}$ 조건 (나)와 ①, ②에 의하여 $\displaystyle \frac{f \left( x _{1} \right) + f \left( x _{2} \right) + f \left( x _{3} \right)}{3}$$\displaystyle = - \frac{7}{3}$ $f \left( x _{1} \right) + f \left( x _{2} \right) + f \left( x _{3} \right)$$\displaystyle = \frac{x _{1}}{2} + \frac{x _{2}}{2} - 2 x _{3}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( x _{1} + x _{2} \right) - 2 x _{3}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2 a} - 2 \times \left( - \frac{1}{2 a} \right)$ $\displaystyle = \frac{3}{4 a} + \frac{1}{a} = \frac{7}{4 a} = - 7$ $\displaystyle a = - \frac{1}{4}$ ㉡에서 $\displaystyle b = \frac{1}{2 a}$이므로 $b = - 2$ $\displaystyle f \left( x \right) = - \frac{1}{4} \left( x + 2 \right) ^{2}$ 따라서 $f \left( 4 \right) \times f \left( 6 \right) = 144$