미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

직선과 삼차곡선 접함

문제

좌표평면에서 직선 $y = m x + 8$ 이 곡선 $y = x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 x$ 와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 실수 $m$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $\displaystyle \frac{2}{3}$ ③ $1$ ④ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ⑤ $2$

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③

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해설

$f ( x ) = m x + 8$ , $g ( x ) = x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 x$ 라 놓으면 $\displaystyle {\begin{cases} f ( a ) = & g ( a ) \\ f' ( a ) = & g' ( a ) \end{cases}}$ 이면 삼차 곡선과 직선이 두 점에서 만난다. $\displaystyle {\begin{cases} ma + 8 = & a ^{3} + 2 a ^{2} - 3 a \\ m = & 3 a ^{2} + 4 a - 3 \end{cases}}$ 두 식을 연립하면 $( a + 2 ) ( a ^{2} - a + 2 ) = 0$ $\therefore a = 2 , m = 1$

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