직선과 이차곡선의 교점 사이 거리의 최댓값

방정식 $x ^{2} + 2 x \sin \theta - \cos ^{2} \theta = x$, 즉 $x ^{2} + \left( 2 \sin \theta - 1 \right) x - \cos ^{2} \theta = 0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 1 - 2 \sin \theta$, $\alpha \beta = - \cos ^{2} \theta$ 이때 직선 $y = x$와 곡선 $y = x ^{2} + 2 x \sin \theta - \cos ^{2} \theta$이 만나는 두 점 사이의 거리를 $d$라 하면 $d$$\displaystyle = \sqrt{\left( \alpha - \beta \right) ^{2} + \left( \alpha - \beta \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{2 \left\{ \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta \right\}}$ $\displaystyle = \sqrt{2 \left\{ \left( 1 - 2 \sin \theta \right) ^{2} - 4 \times \left( - \cos ^{2} \theta \right) \right\}}$ $\displaystyle = \sqrt{2 \left( 1 - 4 \sin \theta + 4 \sin ^{2} \theta + 4 \cos ^{2} \theta \right)}$ $\displaystyle = \sqrt{2 \left( 5 - 4 \sin \theta \right)}$ 실수 $\theta$에 대하여 $- 1 \leq \sin \theta \leq 1$이므로 $d$의 최댓값은 $\sin \theta = - 1$일 때 $\displaystyle \sqrt{2 \left( 5 + 4 \right)} = 3 \sqrt{2}$