직선과 곡선의 접할 조건

[출제의도] 접선의 방정식을 이해하여 상수의 값을 구한다. 직선 $y = 4 x + 5$와 곡선 $y = 2 x ^{4} - 4 x + k$가 점 $\mathrm{P}$$\left( a , b \right)$에서 접한다고 하자. $f ( x ) = 2 x ^{4} - 4 x + k$라 하면 $f' ( x ) = 8 x ^{3} - 4$ 곡선 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기가 $4$이므로 $f' ( a )$$=$$8 a ^{3} - 4 = 4$, $a ^{3} = 1$ 즉, $a = 1$ 점 $\mathrm{P}$는 직선 $y = 4 x + 5$ 위의 점이므로 $b =$$4 \times 1 + 5 = 9$ 이때 $f ( 1 ) = 2 - 4 + k = k - 2$$= 9$ 따라서 $k = 11$