직선다발에서 빠지는 직선과 거리의 최댓값

실마리: 주어진 식을 $k$에 대하여 정리하여 어떤 직선들의 모임인지 먼저 본다. $( 2 k + 1 ) x + ( k - 1 ) y - 3 k = 0$을 $k$에 대하여 정리하면 $k ( 2 x + y - 3 ) + ( x - y ) = 0$ ㄱ. $k$의 값에 관계없이 성립하려면 $2 x + y - 3 = 0$이고 $x - y = 0$이어야 한다. 두 식을 연립하면 $x = 1$, $y = 1$이므로 직선 $l _{k}$는 항상 점 $( 1 , 1 )$을 지난다. (참) ㄴ. 어떤 $k$에 대하여 직선 $l _{k}$가 직선 $2 x + y - 3 = 0$과 같다면 두 식의 계수가 비례하므로 $\displaystyle \frac{2 k + 1}{2} = \frac{k - 1}{1} = \frac{- 3 k}{- 3}$ $\displaystyle \frac{- 3 k}{- 3} = k$이므로 $\displaystyle \frac{k - 1}{1} = k$에서 $k - 1 = k$ 이를 만족시키는 $k$는 없으므로 직선 $2 x + y - 3 = 0$은 직선 $l _{k}$가 될 수 없다. (참) ㄷ. 직선 $l _{k}$는 항상 점 $\mathrm{P} ( 1 , 1 )$을 지나므로, 원점 $\mathrm{O}$에서 직선 $l _{k}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} \leq \overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \sqrt{2}$ 등호는 직선 $l _{k}$가 직선 $\mathrm{OP}$와 수직일 때, 곧 $x + y - 2 = 0$일 때 성립하고 이는 $k = - 2$인 경우이다. 따라서 거리의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{2}$이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③