직선 위의 점과 직사각형의 넓이의 최댓값

직선 $4 x + 3 y - 24 = 0$에서 $y = 0$이면 $x = 6$이므로 $\mathrm{A} \left( 6 , 0 \right)$ $x = 0$이면 $y = 8$이므로 $\mathrm{B} \left( 0 , 8 \right)$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\left( x , y \right)$라 하면 $0 < x < 6$이고 $4 x + 3 y - 24 = 0$에서 $\displaystyle y = \frac{24 - 4 x}{3}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = \mathit{x}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OR}} = \mathit{y}$이므로 직사각형 $\mathrm{OQPR}$의 넓이를 $S$라 하면 $\displaystyle S = xy = \frac{x \left( 24 - 4 x \right)}{3}$ $\displaystyle S = - \frac{4}{3} \left( x ^{2} - 6 x \right) = - \frac{4}{3} \left( x - 3 \right) ^{2} + 12$ $0 < x < 6$이므로 $x = 3$일 때 $S$는 최댓값 $12$를 갖는다. 이때 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( 3 , 4 \right)$이고 $3 \times 4 = 12$이므로 답이 맞다. 따라서 구하는 최댓값은 $12$ ③