직선 위 점 항등식

[출제의도] 직선의 방정식을 구하여 항등식에서 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 직선 $l$의 $x$절편, $y$절편이 각각 $4$, $2$이므로 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ ∴ $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + 2$ 이것을 주어진 등식에 대입하면 $\displaystyle x ^{2} + a \left( - \frac{1}{2} x + 2 \right) ^{2} + bx + c = 0$ $\displaystyle \left( 1 + \frac{a}{4} \right) x ^{2} - ( 2 a - b ) x + ( 4 a + c ) = 0$ 이 식이 $x$에 대한 항등식이므로 $\displaystyle 1 + \frac{a}{4} = 0$, $2 a - b = 0$, $4 a + c = 0$ ∴ $a = - 4$, $b = - 8$, $c = 16$ 따라서 구하는 값은 $| a | + | b | + | c | = 28$ [다른 풀이] 직선 위의 어떤 점을 대입하여도 등식이 성립한다. 직선 위의 점 $( 0 , 2 )$, $( 2 , 1 )$, $( 4 , 0 )$를 대입하여 정리하면 $4 a + c = 0$ …… ㉠ $a + 2 b + c = - 4$ …… ㉡ $4 b + c = - 16$ …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 $a = - 4$, $b = - 8$, $c = 16$ 따라서 구하는 값은 $| a | + | b | + | c | = 28$