직사각형과 만나는 직선의 정수 k

직선 $3 x - 4 y + k = 0$을 $y$에 대하여 풀면 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x + \frac{k}{4}$ 이므로 기울기는 $\displaystyle \frac{3}{4}$로 일정하고, $k$가 커질수록 직선은 위쪽으로 움직인다. 따라서 직선이 직사각형과 만나는 것은 직선이 가장 위쪽에 있는 꼭짓점을 지날 때와 가장 아래쪽에 있는 꼭짓점을 지날 때의 사이이다. (i) 직선이 점 $\left( 1 , 4 \right)$를 지날 때 $3 - 16 + k = 0$이므로 $k = 13$ (ii) 직선이 점 $\left( 5 , 1 \right)$을 지날 때 $15 - 4 + k = 0$이므로 $k = - 11$ $k > 13$이면 직선은 직사각형보다 위쪽에, $k \leftarrow 11$이면 아래쪽에 있으므로 만나지 않는다. 즉 $- 11 \leq k \leq 13$ 따라서 정수 $k$의 개수는 $13 - \left( - 11 \right) + 1 = 25$이다.