직사각형과 정삼각형 벡터

ㄱ. $\displaystyle \mathrm{|} \vec{CB} - \vec{CP} | = | \vec{PB} | = \overline{PB}$이므로 선분 $\mathrm{PB}$의 길이는 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{A}$와 일치할 때 최소이다. 따라서, 최솟값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 1$이다. (참) ㄴ. $\mathrm{\triangle} ACD$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \sqrt{3}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DC}} = 1$이므로 $\mathrm{\angle} CAD = 30 ^\circ$ $\mathrm{\triangle} EAD$가 정삼각형이므로 $\mathrm{\angle} EAD = 60 ^\circ$ ∴ $\mathrm{\angle} EAC = \angle PAC = 90 ^\circ$

∴ $\mathrm{\vec{CA}} \perp \vec{AP}$ ∴ $\mathrm{\vec{CA}} \vec{CP} = \vec{CA} ( \vec{CA} + \vec{AP} )$ $\mathrm{=} \vec{CA} \vec{CA} + \vec{CA} \vec{AP}$ $= \mathrm{|} \vec{CA} | ^{2} + 0$ $= 2 ^{2} = 4$ (참) ㄷ. 점 $\mathrm{A}$를 원점, 직선 $\mathrm{AD}$를 $x$축으로 하는 좌표평면에 주어진 도형을 나타내면 그림과 같다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{DF}$인 $x$축 위의 점을 $\mathrm{F}$라 하고 직사각형 $\mathrm{DCGF}$를 그리면 $\mathrm{\vec{DA}} + \vec{CP} = \vec{CB} + \vec{CP} = \vec{GC} + \vec{CP} = \vec{GP}$ 이므로 $\mathrm{|} \vec{GP} |$의 최솟값은 점 $\displaystyle \mathrm{G} ( 2 \sqrt{3} , - 1 )$에서 직선 $\mathrm{AE}$에 이르는 거리와 같다. 직선 $\mathrm{AE}$의 방정식은 $\displaystyle y = \sqrt{3} x$ 즉, $\displaystyle \sqrt{3} x - y = 0$이므로 구하는 최솟값은 $\displaystyle \frac{| \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} - ( - 1 ) |}{\sqrt{( \sqrt{3} ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = \frac{7}{2}$ (참) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.