대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 속 각의 삼각비

문제

그림과 같이 AB‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3, BC‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 6인 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에서 선분 BC{\mathrm{BC}}를 1:51 : 5로 내분하는 점을 E\mathrm{E}라 하자. ∠EAC=θ\angle \mathrm{EAC} = \theta라 할 때, 50sin⁡θcos⁡θ50 \sin \theta \cos \theta의 값을 구하시오. [4점]

θ\theta

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25

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해설

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제 해결하기 BE‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = 1, EC‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{EC}}} = 5이므로 AE‾=10\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = \sqrt{10}, AC‾=35\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 3 \sqrt{5} 삼각형 AEC\mathrm{AEC}에서 코사인법칙에 의하여 cos⁡θ=10+45−252×10×35=30302=22\displaystyle \cos \theta = \frac{10 + 45 - 25}{2 \times \sqrt{10} \times 3 \sqrt{5}} = \frac{30}{30 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}이므로 sin⁡θ=22\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}(0<θ<π2)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) 따라서 50sin⁡θcos⁡θ=2550 \sin \theta \cos \theta = 25 (다른 풀이) 삼각형 AEC\mathrm{AEC}의 넓이는 12×10×35×sin⁡θ=152\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times 3 \sqrt{5} \times \sin \theta = \frac{15}{2} sin⁡θ=22\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}이므로 cos⁡θ=22\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}(0<θ<π2)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) 따라서 50sin⁡θcos⁡θ=2550 \sin \theta \cos \theta = 25

태그

#삼각형의 넓이#삼각함수

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