미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 넓이 나누기

문제

그림과 같이 네 점 $( 0 , - 1 )$ , $( 2 , - 1 )$ , $( 2 , 4 )$ , $( 0 , 4 )$ 를 꼭짓점으로 하는 직사각형 내부가 곡선 $y = x ^{3} - x ^{2}$ 에 의하여 나누어지는 두 부분을 $A$ , $B$ , 직선 $y = ax$ 에 의하여 나누어지는 두 부분을 $C$ , $D$ 라 하자. 영역 $A$ 의 넓이와 영역 $C$ 의 넓이가 같을 때, $300 a$ 의 값을 구하시오. [4점]

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200

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[출제의도] 정적분을 활용하여 수학내적문제 해결하기 $A$ 와 $C$ 의 넓이가 같으므로 $S _{1} = S _{2}$

$\displaystyle \int _{0} ^{2} {( x ^{3} - x ^{2}} - ax ) dx = 0$ $\displaystyle \therefore a = \frac{2}{3}$ 따라서 $300 a = 200$

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