직교 접선과 극한 조건

(나)에서$\displaystyle f _{1}' ( 0 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f _{1} ( x ) + 2 kx}{f _{1} ( x ) + kx}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{f _{1} ( x )}{x} + 2 k}{\frac{f _{1} ( x )}{x} + k}$ $\displaystyle f _{1}' ( 0 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f _{1} ( x ) - f _{1} ( 0 )}{x - 0}$이므로 $\displaystyle f' _{1} ( 0 ) = \frac{{f' _{1} ( 0 )} + 2 k}{{f' _{1} ( 0 )} + k}$ $f' _{1} ( 0 ) = a$($a$는 실수 ) 라 하면 $\displaystyle a = \frac{a + 2 k}{a + k}$, $a + 2 k = a ^{2} + ak$ $a ^{2} + ( k - 1 ) a - 2 k = 0$ --㉠ 같은 방법으로 $f' _{2} ( 0 ) = b$라 하면 $\displaystyle b = \frac{b + 2 k}{b + k}$, $b + 2 k = b ^{2} + bk$ $b ^{2} + ( k - 1 ) b - 2 k = 0$ --㉡ ㉠,㉡에서 $a , b$는 $x ^{2} + ( k - 1 ) x - 2 k = 0$ 의 두 근 $f' _{1} ( 0 ) \times f' _{2} ( 0 ) = ab = - 2 k = - 1 ( \because \text{수직} )$ $\displaystyle \therefore k = \frac{1}{2}$