직각삼각형이 되는 점이 세 개일 조건

점 $\mathrm{C}$의 좌표를 $\left( t , m \right)$ ($m > 0$)이라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = 36$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = \left( t - 1 \right) ^{2} + m ^{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = \left( t - 7 \right) ^{2} + m ^{2}$ (ⅰ) $\mathrm{A}$가 직각인 경우 $36 + \left( t - 1 \right) ^{2} + m ^{2} = \left( t - 7 \right) ^{2} + m ^{2}$에서 $12 t = 12$, 즉 $t = 1$ (ⅱ) $\mathrm{B}$가 직각인 경우 $36 + \left( t - 7 \right) ^{2} + m ^{2} = \left( t - 1 \right) ^{2} + m ^{2}$에서 $- 12 t = - 84$, 즉 $t = 7$ 즉 (ⅰ), (ⅱ)에서 점 $\mathrm{C}$는 $m$의 값에 관계없이 각각 $1$개씩 있다. (ⅲ) $\mathrm{C}$가 직각인 경우 $\left( t - 1 \right) ^{2} + m ^{2} + \left( t - 7 \right) ^{2} + m ^{2} = 36$ $2 t ^{2} - 16 t + 14 + 2 m ^{2} = 0$, $t ^{2} - 8 t + 7 + m ^{2} = 0$ 이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 16 - \left( 7 + m ^{2} \right) = 9 - m ^{2}$ 점 $\mathrm{C}$가 모두 $3$개이려면 (ⅲ)에서 점이 오직 $1$개이어야 하므로 $9 - m ^{2} = 0$ $m > 0$이므로 $m = 3$ 이때 (ⅲ)의 점은 $\left( 4 , 3 \right)$으로 (ⅰ), (ⅱ)의 점 $\left( 1 , 3 \right)$, $\left( 7 , 3 \right)$과 서로 다르다. 따라서 $m = 3$