직각삼각형 수선 길이 합

꼭지점 $\mathrm{C}$에서 변$\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 25$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}} = \frac{15 \times 20}{25} = 12$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \sqrt{15 ^{2} - 12 ^{2}} = 9$ 이고 $\mathrm{P} _{9} , Q _{9}$가 각각 $\mathrm{H} , C$와 일치하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P} _{9} Q _{9}} = \overline{\mathrm{CH}} = 12$ 삼각형$\mathrm{AHC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} Q _{1}}} + \mathrm{\overline{P _{2} Q _{2}}} + \mathrm{\overline{P _{3} Q _{3}}} + \cdots + \mathrm{\overline{P _{9} Q _{9}}} = ( 1 + 2 + 3 + \cdots + 9 ) \tan A$ $\displaystyle = \frac{4}{3} \times \frac{9 \times 10}{2} = 60$ 또, 삼각형$\mathrm{BHC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{10} Q _{10}}} + \mathrm{\overline{P _{11} Q _{11}}} + \cdots + \mathrm{\overline{P _{24} Q _{24}}} = ( 15 + 14 + 13 + \cdots + 2 + 1 ) \tan B$ $\displaystyle = \frac{3}{4} \times \frac{15 \times 16}{2} = 90$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} Q _{1}}} + \mathrm{\overline{P _{2} Q _{2}}} + \mathrm{\overline{P _{3} Q _{3}}} + \cdots + \mathrm{\overline{P _{24} Q _{24}}} = 60 + 90 = 150$ [다른 풀이] 다음 그림에서

$\displaystyle ( \mathrm{\overline{P _{1} Q _{1}}} + \cdots + \mathrm{\overline{P _{8} Q _{8}}} ) + \mathrm{\overline{P _{9} Q _{9}}} + ( \mathrm{\overline{P _{10} Q _{10}}} + \cdots + \mathrm{\overline{P _{24} Q _{24}}} )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 + 12 + \frac{1}{2} \times 12 \times 15 = 150$