직각삼각형 격자점

점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( x , y \right)$라 하면 점 $\mathrm{B}$는 점 $\mathrm{A}$를 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( - x , - y \right)$이다. 세 점 $\mathrm{A} \left( \mathit{x} , y \right)$, $\mathrm{B} \left( \mathit{-} x , - y \right)$, $\mathrm{C} \left( 0 , 10 \right)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 세 변의 길이 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CA}}}$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} = \mathit{4} x ^{2} + 4 y ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = \mathit{x} ^{2} + \left( y + 10 \right) ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} ^{2} = \mathit{x} ^{2} + \left( y - 10 \right) ^{2}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 직각삼각형인 경우는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{BC}} ^{2} = {\overline{CA}} ^{2}$ 또는 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2} = {\overline{AB}} ^{2}$ 또는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2} = {\overline{BC}} ^{2}$ 이다. i) $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{BC}} ^{2} = {\overline{CA}} ^{2}$ 일 때, $\left( 4 x ^{2} + 4 y ^{2} \right) + \left\{ x ^{2} + \left( y + 10 \right) ^{2} \right\} = x ^{2} + \left( y - 10 \right) ^{2}$ $\therefore$ $x ^{2} + \left( y + 5 \right) ^{2} = 25$ ii) $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2} = {\overline{AB}} ^{2}$ 일 때, $\left\{ x ^{2} + \left( y + 10 \right) ^{2} \right\} + \left\{ x ^{2} + \left( y - 10 \right) ^{2} \right\} = 4 x ^{2} + 4 y ^{2}$ $\therefore$ $x ^{2} + y ^{2} = 100$ iii) $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{CA}} ^{2} = {\overline{BC}} ^{2}$ 일 때, $\left( 4 x ^{2} + 4 y ^{2} \right) + \left\{ x ^{2} + \left( y - 10 \right) ^{2} \right\} = x ^{2} + \left( y + 10 \right) ^{2}$ $\therefore$ $x ^{2} + \left( y - 5 \right) ^{2} = 25$ i), ii), iii)을 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같다.

$x ^{2} + y ^{2} = 100$ $x ^{2} + \left( y - 5 \right) ^{2} = 25$ $x ^{2} + \left( y + 5 \right) ^{2} = 25$

점 $\mathrm{A}$는 $y$축 위의 점이 아니므로 그림의 원 위에 존재하는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점 $\mathrm{A}$의 개수는 제$1$사분면 위의 점의 개수의 $4$배와 $x$축 위의 두 점 $\left( 10 , 0 \right)$, $\left( - 10 , 0 \right)$의 개수 $2$를 더한 것이다.

$x ^{2} + \left( y - 5 \right) ^{2} = 25$ $x ^{2} + y ^{2} = 100$

$x = 3$일 때, $\left( 3 , 1 \right)$, $\left( 3 , 9 \right)$ $x = 4$일 때, $\left( 4 , 2 \right)$, $\left( 4 , 8 \right)$ $x = 5$일 때, $\left( 5 , 5 \right)$ $x = 6$일 때, $\left( 6 , 8 \right)$ $x = 8$일 때, $\left( 8 , 6 \right)$ 따라서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수이면서 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 직각삼각형이 되는 점 $\mathrm{A}$의 개수는 $7 \times 4 + 2 = 30$