공통수학1이차방정식수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

직각삼각형 빗변 길이

문제

∠C=90∘\angle \mathrm{C} = 90 ^\circ인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 그림과 같이 점 D\mathrm{D}는 꼭짓점 C\mathrm{C}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발이고 CD‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 1이다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 둘레의 길이가 55일 때, 선분 AB\mathrm{AB}의 길이는? [4점]

①74\displaystyle \frac{7}{4}②2312\displaystyle \frac{23}{12}③2512\displaystyle \frac{25}{12}④94\displaystyle \frac{9}{4}⑤2912\displaystyle \frac{29}{12}

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③

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해설

[출제의도] 연립방정식을 이용하여 추론하기 그림과 같이 AB‾=x\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{x}, BC‾=a\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{a}, CA‾=b\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = \mathit{b}라 두자.

삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이를 구하는 두 가지 방법을 비교해 보면 12ab=12x\displaystyle \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} x이므로 ab=x⋯㉠ab = x \cdots \text{㉠} 이다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 세 변의 길이의 합은 55이므로 a+b+x=5a + b + x = 5 a+b=5−x⋯㉡a + b = 5 - x \cdots \text{㉡} 이다. 한편, 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 피타고라스 정리에 의해 a2+b2=x2a ^{2} + b ^{2} = x ^{2} 이고 x2=(a+b)2−2abx ^{2} = ( a + b ) ^{2} - 2 ab에 ㉠\text{㉠}과 ㉡\text{㉡}을 대입하면 x2=(5−x)2−2xx ^{2} = ( 5 - x ) ^{2} - 2 x x2=52−10x+x2−2xx ^{2} = 5 ^{2} - 10 x + x ^{2} - 2 x 25−12x=025 - 12 x = 0 x=2512\displaystyle x = \frac{25}{12} 이다.

태그

#피타고라스 정리#넓이#방정식

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