공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직각이등변삼각형 넓이

문제

이차함수 f(x)=x2−x+kf \left( x \right) = x ^{2} - x + k의 그래프와 직선 y=x+1y = x + 1이 두 점에서 만날 때, 그 교점의 xx좌표를 각각 α\alpha, β\beta (α<β\alpha < \beta)라 하자. 세 점 A(α,f(α))\mathrm{A} \mathit{\left( \alpha , f \left( \alpha \right) \right)}, B(β,f(α)){\mathrm{B}} \left( \beta , f \left( \alpha \right) \right), C(β,f(β)){\mathrm{C}} \left( \beta , f \left( \beta \right) \right)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이가 88일 때, f(6)f \left( 6 \right)의 값은? (단, kk는 상수이다.) [4점] ①2828②2929③3030④3131⑤3232

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①

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해설

[출제의도] 이차함수를 이용한 문제 해결하기 f(x)=x2−x+kf \left( x \right) = x ^{2} - x + k라 하면 방정식 f(x)=x+1f \left( x \right) = x + 1의 두 실근이 x=αx = \alpha, β\beta이므로 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 직선 y=x+1y = x + 1은 A(α,f(α)){\mathrm{A}} \left( \alpha , f \left( \alpha \right) \right), C(β,f(β))\mathrm{\mathrm{C}} \mathit{\left( \beta , f \left( \beta \right) \right)}에서 만난다. 직선 y=x+1y = x + 1의 기울기는 11이므로 삼각형 ABC\mathrm{ABC}는 직각 이등변삼각형이며 f(α)=α+1f \left( \alpha \right) = \alpha + 1, f(β)=β+1f \left( \beta \right) = \beta + 1이다. 삼각형의 넓이는 (β−α)2×12=8\displaystyle \left( \beta - \alpha \right) ^{2} \times \frac{1}{2} = 8이고, α<β\alpha < \beta이므로 β−α=4\beta - \alpha = 4이다. 한편, 근과 계수의 관계에 의해 α+β=2\alpha + \beta = 2이므로 α=−1,β=3\alpha = - 1 , \beta = 3이다. 따라서 k=−2k = \mathit{-} 2이므로 f(x)=x2−x−2f \left( x \right) = x ^{2} - x - 2, f(6)=62−6−2=28f \left( 6 \right) = 6 ^{2} - 6 - 2 = 28이다.

태그

#근과 계수의 관계#넓이

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