증가함수와 실근 빈칸

두 실수 $a$($a \ne 0$), $b$에 대하여 두 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{3} ax ^{3} - bx ^{2} - \left( a - 4 \right) x - 3 a ^{2}$, $g \left( x \right) = \left( a + b \right) x ^{2} - 2 \left( a + 2 \right) x$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $f \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 증가하고 방정식 $f \left( x \right) + g \left( x \right) = 0$이 서로 다른 $2$개의 실근을 갖는다.

다음은 실수 $b$의 범위를 구하는 과정이다. 함수 $f \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 $a$는 양수이다. 방정식 $f' \left( x \right) = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = 4 b ^{2} + {\square {( \text{가} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}} \leq 0$ $\cdots \cdots$㉠ 방정식 $f \left( x \right) + g \left( x \right) = 0$이 서로 다른 $2$개의 실근을 가지므로 방정식 $x ^{3} + 3 x ^{2} - 9 x = {\square {( \text{나} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}}$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다. $h \left( x \right) = x ^{3} + 3 x ^{2} - 9 x$라 하자. 함수 $h \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $a = {\square {( \text{다} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}}$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle - \sqrt{3} \leq b \leq \sqrt{3}$

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $F \left( a \right)$, $G \left( a \right)$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$라 할 때, $F \left( 5 \right) + G \left( 4 \right) + k$의 값을 구하시오. [4점]