미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

접원 넓이 극한

문제

그림과 같이 AB‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2, BC‾=23\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 \sqrt{3}, ∠ABC=π2\displaystyle \mathrm{\angle} ABC = \frac{\pi}{2}인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 선분 CA\mathrm{CA} 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠ABP=θ\mathrm{\angle} ABP = \theta라 할 때, 선분 AB\mathrm{AB} 위의 점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 두 선분 AP\mathrm{AP}, BP\mathrm{BP}에 동시에 접하는 원의 넓이를 f(θ)f ( \theta )라 하자. 이 원과 선분 PO\mathrm{PO}가 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 할 때, 선분 PQ\mathrm{PQ}를 지름으로 하는 원의 넓이를 g(θ)g ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+f(θ)+g(θ)θ2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{f ( \theta ) + g ( \theta )}{\theta ^{2}}의 값은? [4점]

θ\theta

①17−533π\displaystyle \frac{17 - 5 \sqrt{3}}{3} \pi②18−533π\displaystyle \frac{18 - 5 \sqrt{3}}{3} \pi③19−533π\displaystyle \frac{19 - 5 \sqrt{3}}{3} \pi④18−433π\displaystyle \frac{18 - 4 \sqrt{3}}{3} \pi⑤19−433π\displaystyle \frac{19 - 4 \sqrt{3}}{3} \pi

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⑤

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해설

두 원의 반지름의 길이를 각각 R(θ)R ( \theta ), r(θ)r ( \theta ) (R(θ)>r(θ))( R ( \theta ) > r ( \theta ) )이라 하자. AB‾=AO‾+OB‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AO} + \overline{OB} =23R(θ)+R(θ)sin⁡θ\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} R ( \theta ) + \frac{R ( \theta )}{\sin \theta}=2= 2 R(θ)=23sin⁡θ2sin⁡θ+3\displaystyle R ( \theta ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin \theta}{2 \sin \theta + \sqrt{3}} ∴f(θ)=πR(θ)2\therefore f ( \theta ) = \pi R ( \theta ) ^{2} ∠APO=∠BPO=π3−θ2\displaystyle \mathrm{\angle} APO = \angle BPO = \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} 이므로 OP‾=R(θ)sin⁡(π3−θ2)\displaystyle {\overline{OP}} = \frac{R ( \theta )}{\sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)} PQ‾=OP‾−OQ‾\displaystyle {\overline{PQ}} = {\overline{OP}} - {\overline{OQ}} =R(θ)sin⁡(π3−θ2)−R(θ)=(1−sin⁡(π3−θ2)sin⁡(π3−θ2))R(θ)\displaystyle = \frac{R ( \theta )}{\sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)} - R ( \theta ) = \left( \frac{1 - \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)} \right) R ( \theta ) r(θ)=PQ‾2=(1−sin⁡(π3−θ2)2sin⁡(π3−θ2))R(θ)\displaystyle r ( \theta ) = \frac{{\overline{PQ}}}{2} = \left( \frac{1 - \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)} \right) R ( \theta ) ∴g(θ)=π(1−sin⁡(π3−θ2)2sin⁡(π3−θ2))2R(θ)2\displaystyle \therefore g ( \theta ) = \pi \left( \frac{1 - \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)} \right) ^{2} R ( \theta ) ^{2} lim⁡θ→0+f(θ)+g(θ)θ2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{f ( \theta ) + g ( \theta )}{\theta ^{2}}=lim⁡θ→0+πR(θ)2+r(θ)2θ2\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \pi \frac{R ( \theta ) ^{2} + r ( \theta ) ^{2}}{\theta ^{2}} =lim⁡θ→0+πR(θ)2θ2{1+(1−sin⁡(π3−θ2)2sin⁡(π3−θ2))2}\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \pi \frac{R ( \theta ) ^{2}}{\theta ^{2}} \left\{ 1 + \left( \frac{1 - \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)} \right) ^{2} \right\} =lim⁡θ→0+πsin⁡2θθ2(232sin⁡θ+3)2{1+(1−sin⁡(π3−θ2)2sin⁡(π3−θ2))2}\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \pi \frac{\sin ^{2} \theta}{\theta ^{2}} \left( \frac{2 \sqrt{3}}{2 \sin \theta + \sqrt{3}} \right) ^{2} \left\{ 1 + \left( \frac{1 - \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\theta}{2} \right)} \right) ^{2} \right\} =π×12×22×{1+(1−323)2}\displaystyle = \pi \times 1 ^{2} \times 2 ^{2} \times \left\{ 1 + \left( \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} \right) ^{2} \right\} =19−433π\displaystyle = \frac{19 - 4 \sqrt{3}}{3} \pi

태그

#삼각함수의 극한#원#도형

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