공통수학2원의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

접선의 길이로 점의 좌표 구하기

문제

원 x2+y2−2x−4y+1=0x ^{2} + y ^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0 밖의 점 P(a,0)\mathrm{P} ( a , 0 ) 에서 이 원에 그은 접선의 길이가 44 일 때, 양수 aa 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

x2+y2−2x−4y+1=0x ^{2} + y ^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0 을 변형하면 (x−1)2+(y−2)2=4\left( x - 1 \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 4 이므로 중심은 C(1,2)\mathrm{C} ( 1 , 2 ), 반지름의 길이는 22 이다. CP‾2=(a−1)2+4\displaystyle \overline{\mathrm{CP}} ^{2} = ( a - 1 ) ^{2} + 4 이므로 접선의 길이는 (a−1)2+4−4=(a−1)2\displaystyle \sqrt{( a - 1 ) ^{2} + 4 - 4} = \sqrt{( a - 1 ) ^{2}} 이 값이 44 이므로 (a−1)2=16( a - 1 ) ^{2} = 16 a=5a = 5 또는 a=−3a = - 3 따라서 aa 가 양수이므로 a=5a = 5

태그

#원의 접선#접선의 길이#미정계수

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