접선의 길이 조건으로 원 정하기

먼저 원 $C _{1}$ 의 조건만으로 점 $\mathrm{P}$ 를 정할 수 있음에 주목한다. $\mathrm{P} ( p , 0 )$ 이라 하자. 원 $C _{1}$ 은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $4$ 이므로 $p ^{2} - 16 = 3 ^{2}$ $p ^{2} = 25$ 에서 $p = 5$ 또는 $p = - 5$ 한편 $C _{2}$ 를 변형하면 $\left( x - a \right) ^{2} + \left( y - a \right) ^{2} = 4$ 이므로 중심은 $( a , a )$, 반지름의 길이는 $2$ 이다. $( p - a ) ^{2} + a ^{2} - 4 = 3 ^{2}$ 에서 $( p - a ) ^{2} + a ^{2} = 13$ $p = 5$ 일 때 $2 a ^{2} - 10 a + 12 = 0$ 이므로 $a ^{2} - 5 a + 6 = 0$ $a = 2$ 또는 $a = 3$ 으로 모두 양수이다. $p = - 5$ 일 때 $2 a ^{2} + 10 a + 12 = 0$ 이므로 $a ^{2} + 5 a + 6 = 0$ $a = - 2$ 또는 $a = - 3$ 으로 양수가 아니다. 따라서 모든 양수 $a$ 의 값의 합은 $2 + 3 = 5$