접선이 만드는 정삼각형

[출제의도] 정삼각형의 성질과 미분법을 이용하여 접점의 좌표를 구하는 문제를 해결한다. 직선 $l$의 기울기가 $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}$이고, 세 직선 $l , m , n$으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형이므로 두 접선 $m , n$과 직선 $l$이 이루는 예각의 크기는 $60 ^\circ$이다. 직선 $l$과 이루는 예각의 크기가 $60 ^\circ$인 직선의 기울기를 $k$라 하면 삼각함수의 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle \left| \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2} - k}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2} k} \right| = \sqrt{3}$, $\displaystyle k = \frac{\sqrt{3}}{5}$ 또는 $\displaystyle k = 3 \sqrt{3}$ $\displaystyle f ( x ) = \sqrt{3} \ln x$에서 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{\sqrt{3}}{x}$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{5}$, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\beta} = 3 \sqrt{3}$ $\alpha = 5$, $\displaystyle \beta = \frac{1}{3}$이므로 $6 ( \alpha + \beta ) = 32$