접선과 평행선을 이용한 삼각형 넓이의 극한

함수 $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2}$를 $x$에 대하여 미분하면 $f' \left( x \right) = 2 \left( x - 2 \right)$ 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( t , f \left( t \right) \right)}$에서의 접선의 방정식은 $y - \left( t - 2 \right) ^{2} = 2 \left( t - 2 \right) \left( x - t \right)$, $y = 2 \left( t - 2 \right) x - t ^{2} + 4$ 이므로 $y = 0$을 대입하면 $\displaystyle x = \frac{t + 2}{2}$ ($\because$ $2 < t < 8$) $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( \frac{t + 2}{2} , 0 \right)}$

그림과 같이 직선 $y = 2 \left( t - 2 \right) \left( x - 5 \right)$은 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( t , f \left( t \right) \right)}$에서의 접선 $y = 2 \left( t - 2 \right) x - t ^{2} + 4$과 평행하므로 점 $\mathrm{T} \left( 5 , 0 \right)$에 대하여 두 삼각형 $\mathrm{PQR}$, $\mathrm{PQ} T$의 넓이는 같다. $\therefore$ $S \left( t \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left| 5 - \frac{t + 2}{2} \right| \times \left( t - 2 \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 5 - \frac{t + 2}{2} \right) \left( t - 2 \right) ^{2}$ ($\because$ $2 < t < 8$) $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{S \left( t \right)}{\left( t - 2 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{\frac{1}{2} \left( 5 - \frac{t + 2}{2} \right) \left( t - 2 \right) ^{2}}{\left( t - 2 \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} {\frac{1}{2} \left( 5 - \frac{t + 2}{2} \right)}$ $\displaystyle = \frac{3}{2}$